Criterios de Divisibilidad
2022 May 12
See all posts
Criterios de Divisibilidad
¿Por qué vale que un número es par si su última
cifra es 0, 2, 4, 6 u 8?
¿Cómo sabemos que un número es divisible por 5 si termina en 0 o
5?
¿Y que un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos lo
es?
O cómo se justifican todos
estos.
Divisibilidad
El algoritmo de división de números enteros nos dice que:
\[
\forall (a, b) \in \mathbb{Z}^2: \exists (k, r) \in \mathbb{Z}^2 \wedge
(0 \leq r < b) / a = k.b + r
\]
Lista de símbolos matemáticos y su significado. link
En palabras,
Para todo a y b enteros,
existen k, r enteros con r entre 0 y
b; tales que a es igual a kb +
r*
Y coloquialmente llamamos:
- a = dividendo
- b = divisor
- k = cociente
- r = resto
Y entonces, decimos que:
\[
a|b \iff \exists k \in \mathbb{Z}/a = k.b
\]
💡 El símbolo "|" significa "divide"
O lo que es lo mismo, que el resto de dividir a por
b es igual a 0.
Congruencia
La notación de congruencia, derivada del algoritmo de división, nos
permite relacionar el divisor, dividendo y resto de la siguiente
manera.
\[
a = k.b + r \iff a \equiv r (b)
\]
En palabras decimos que "a es congruente a r módulo b"
Y una de las propiedades de la congruencia, que llamamos "tomar
resto" es
\[
a \equiv \text{resto}(a,c) (c)
\]
Por ejemplo,
\[
26 \equiv resto(26, 4)(4) \equiv 2(4)
\]
Pues el restos de dividir a 26 por 4 es igual a 2. Esta propiedad va
a ser usada en la demostración de los criterios.
Sistemas de numeración
A lo largo de la historia han existido (y existen) muchos sistemas de
numeración distintos, con ventajas y desventajas entre sí.
https://www.youtube.com/watch?v=ggOPJ8gafPo
Un sistema de numeración no es más que un conjunto de símbolos y
reglas que permiten construir todos los números válidos (para ese
sistema). Quizás uno de los más reconocidos, distinto al que usamos
todos los días, sea el sistema de numeración romano, que utiliza letras
y la posición en las que se escriben para identificar los números.
El sistema que usamos hoy en día es el sistema de numeración decimal,
o en base 10.
Las reglas de este sistema son simples pero muy poderosas:
Se utilizan 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Todo número a se puede escribir como
\[
a = c_1 \cdot 10^{n} + c_2 \cdot 10^{n-1} + ... + c_{n-1} \cdot 10^{1} +
c_{n} \cdot 10^{0}
\]
Donde \(n\) es la cantidad de
dígitos menos uno del número y \(c_i\)
es el símbolo en la posición \(i\).
🔑 Esta es la notación formal para el sistema que usamos de forma
natural todos los días
Por ejemplo sabemos que el número,
\[
\begin{align*}
1234 &= 1 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 \\
1234 &= 1000 + 200 + 30 + 4 \\
\end{align*}
\]
Aunque no estemos haciendo esta suma cada vez que escribimos un
número.
Existen otros sistemas de numeración muy usados como el binario o el hexadecimal
¿Por qué valen los
criterios de divisibilidad?
Vamos a ir descubriendo por qué valen los criterios de divisibilidad
del dos, tres y cinco.
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 si: el número termina en una cifra par
(0, 2, 4, 6, 8).
Vamos a probar la validez de este criterio (y todos los demás) usando
todo lo que estuvimos viendo previamente.
Sabemos que un número \(n\) es
divisible por \(2\) si \(\exists k \in \mathbb{Z} / n = 2k\) y por
congruencias sabemos que
\[
n = 2k \iff n \equiv 0(2)
\]
Por lo tanto vamos a querer probar que cualquier números es divisible
por dos si es congruente a cero módulo 2.
Ahora usamos lo que vimos del sistema de numeración decimal, sabemos
que \(n\) se puede escribir como
\[
n = c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1} \cdot 10^{1} +
c_{r} \cdot 10^{0}
\]
Entonces juntando ambas cosas
\[
n \equiv 0(2) \iff c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1}
\cdot 10^{1} + c_{r} \cdot 10^{0} \equiv 0 (2)
\]
Si ahora tomamos resto a cada sumando
\[
n \equiv 0(2) \iff c_1 \cdot 0^{r} + c_2 \cdot 0^{r-1} + ... + c_{r-1}
\cdot 0^{1} + c_{r} \cdot 1 \equiv 0 (2)
\]
Pues sabemos que el resto de dividir a 10 por 2 es igual a 0, y que
cualquier número elevado a la 0 es 1.
Por lo tanto nos queda algo del estilo
\[
n \equiv 0(2) \iff c_{r} \cdot 1 \equiv 0 (2) \iff c_{r} \equiv 0(2)
\]
Y esto quiere decir, como queríamos probar, que un número es
divisible por 2 (o congruente a cero módulo 2) si termina en un número
par.
Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si: la suma de sus cifras es un múltiplo
de 3.
Vamos a usar el mismo razonamiento que en el caso anterior
Sabemos que un número \(n\) es
divisible por \(3\) si \(\exists k \in \mathbb{Z} / n = 3k\) y por
congruencias sabemos que
\[
n = 3k \iff n \equiv 0(3)
\]
Por lo tanto vamos a querer probar que cualquier números es divisible
por dos si es congruente a 0 módulo 3.
Ahora usamos lo que vimos del sistema de numeración decimal, sabemos
que \(n\) se puede escribir como
\[
n = c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1} \cdot 10^{1} +
c_{r} \cdot 10^{0}
\]
Entonces juntando ambas cosas
\[
n \equiv 0(3) \iff c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1}
\cdot 10^{1} + c_{r} \cdot 10^{0} \equiv 0 (3)
\]
Si ahora tomamos resto a cada sumando
<aside 🔑 Acá está la diferencia con el caso anterior (y con los
que sigan).
Un número es divisible por 5 si: la última cifra es 0 o 5.
De nuevo usamos los visto en los casos anteriores.
Sabemos que un número \(n\) es
divisible por \(5\) si \(\exists k \in \mathbb{Z} / n = 5k\) y por
congruencias sabemos que
\[
n = 5k \iff n \equiv 0(5)
\]
Por lo tanto vamos a querer probar que cualquier números es divisible
por dos si es congruente a 0 módulo 5.
Ahora usamos lo que vimos del sistema de numeración decimal, sabemos
que \(n\) se puede escribir como
\[
n = c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1} \cdot 10^{1} +
c_{r} \cdot 10^{0}
\]
Entonces juntando ambas cosas
\[
n \equiv 0(5) \iff c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1}
\cdot 10^{1} + c_{r} \cdot 10^{0} \equiv 0 (5)
\]
Si ahora tomamos resto a cada sumando
\[
n \equiv 0(5) \iff c_1 \cdot 0^{r} + c_2 \cdot 0^{r-1} + ... + c_{r-1}
\cdot 0^{1} + c_{r} \cdot 1 \equiv 0 (5)
\]
En este caso, el resto de dividir a 10 por 5 es igual a 0.
Por lo tanto nos queda algo muy similar al criterio del 2
\[
n \equiv 0(5) \iff c_{r} \equiv 0 (5)
\]
Y esto quiere decir, como queríamos probar, que un número es
divisible por 5 (o congruente a 0 módulo 5) si la última cifra es
divisible por 5, o lo que es lo mismo, que termina en 0 o 5.
El último criterio que no vamos a ver acá pero también es muy
interesante es el del 11.
Conclusiones
Crear atajos nos ayuda a resolver problemas de forma eficiente.
Gracias a los criterios de divisibilidad, sabemos que el número
19284758403294 es divisible por 2 ya que termina en 4, sin tener que
andar haciendo las cuentas.
Muchas veces nos quedamos con la fórmula que nos permite
resolver problemas sin saber por qué vale lo que sabemos que es cierto.
Los criterios de divisibilidad son ciertos y valen; ya vimos por qué
🤓
Criterios de Divisibilidad
2022 May 12 See all posts¿Por qué vale que un número es par si su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8?
¿Cómo sabemos que un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5?
¿Y que un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos lo es?
O cómo se justifican todos estos.
Divisibilidad
El algoritmo de división de números enteros nos dice que:
\[ \forall (a, b) \in \mathbb{Z}^2: \exists (k, r) \in \mathbb{Z}^2 \wedge (0 \leq r < b) / a = k.b + r \]
En palabras,
Y coloquialmente llamamos:
Y entonces, decimos que:
\[ a|b \iff \exists k \in \mathbb{Z}/a = k.b \]
O lo que es lo mismo, que el resto de dividir a por b es igual a 0.
Congruencia
La notación de congruencia, derivada del algoritmo de división, nos permite relacionar el divisor, dividendo y resto de la siguiente manera.
\[ a = k.b + r \iff a \equiv r (b) \]
En palabras decimos que "a es congruente a r módulo b"
Y una de las propiedades de la congruencia, que llamamos "tomar resto" es
\[ a \equiv \text{resto}(a,c) (c) \]
Por ejemplo,
\[ 26 \equiv resto(26, 4)(4) \equiv 2(4) \]
Pues el restos de dividir a 26 por 4 es igual a 2. Esta propiedad va a ser usada en la demostración de los criterios.
Sistemas de numeración
A lo largo de la historia han existido (y existen) muchos sistemas de numeración distintos, con ventajas y desventajas entre sí.
https://www.youtube.com/watch?v=ggOPJ8gafPo
Un sistema de numeración no es más que un conjunto de símbolos y reglas que permiten construir todos los números válidos (para ese sistema). Quizás uno de los más reconocidos, distinto al que usamos todos los días, sea el sistema de numeración romano, que utiliza letras y la posición en las que se escriben para identificar los números.
El sistema que usamos hoy en día es el sistema de numeración decimal, o en base 10.
Las reglas de este sistema son simples pero muy poderosas:
Se utilizan 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Todo número a se puede escribir como
\[ a = c_1 \cdot 10^{n} + c_2 \cdot 10^{n-1} + ... + c_{n-1} \cdot 10^{1} + c_{n} \cdot 10^{0} \]
Donde \(n\) es la cantidad de dígitos menos uno del número y \(c_i\) es el símbolo en la posición \(i\).
Por ejemplo sabemos que el número,
\[ \begin{align*} 1234 &= 1 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 \\ 1234 &= 1000 + 200 + 30 + 4 \\ \end{align*} \]
Aunque no estemos haciendo esta suma cada vez que escribimos un número.
Existen otros sistemas de numeración muy usados como el binario o el hexadecimal
¿Por qué valen los criterios de divisibilidad?
Vamos a ir descubriendo por qué valen los criterios de divisibilidad del dos, tres y cinco.
Divisibilidad por 2
Vamos a probar la validez de este criterio (y todos los demás) usando todo lo que estuvimos viendo previamente.
Sabemos que un número \(n\) es divisible por \(2\) si \(\exists k \in \mathbb{Z} / n = 2k\) y por congruencias sabemos que
\[ n = 2k \iff n \equiv 0(2) \]
Por lo tanto vamos a querer probar que cualquier números es divisible por dos si es congruente a cero módulo 2.
Ahora usamos lo que vimos del sistema de numeración decimal, sabemos que \(n\) se puede escribir como
\[ n = c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1} \cdot 10^{1} + c_{r} \cdot 10^{0} \]
Entonces juntando ambas cosas
\[ n \equiv 0(2) \iff c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1} \cdot 10^{1} + c_{r} \cdot 10^{0} \equiv 0 (2) \]
Si ahora tomamos resto a cada sumando
\[ n \equiv 0(2) \iff c_1 \cdot 0^{r} + c_2 \cdot 0^{r-1} + ... + c_{r-1} \cdot 0^{1} + c_{r} \cdot 1 \equiv 0 (2) \]
Pues sabemos que el resto de dividir a 10 por 2 es igual a 0, y que cualquier número elevado a la 0 es 1.
Por lo tanto nos queda algo del estilo
\[ n \equiv 0(2) \iff c_{r} \cdot 1 \equiv 0 (2) \iff c_{r} \equiv 0(2) \]
Y esto quiere decir, como queríamos probar, que un número es divisible por 2 (o congruente a cero módulo 2) si termina en un número par.
Divisibilidad por 3
Vamos a usar el mismo razonamiento que en el caso anterior
Sabemos que un número \(n\) es divisible por \(3\) si \(\exists k \in \mathbb{Z} / n = 3k\) y por congruencias sabemos que
\[ n = 3k \iff n \equiv 0(3) \]
Por lo tanto vamos a querer probar que cualquier números es divisible por dos si es congruente a 0 módulo 3.
Ahora usamos lo que vimos del sistema de numeración decimal, sabemos que \(n\) se puede escribir como
\[ n = c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1} \cdot 10^{1} + c_{r} \cdot 10^{0} \]
Entonces juntando ambas cosas
\[ n \equiv 0(3) \iff c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1} \cdot 10^{1} + c_{r} \cdot 10^{0} \equiv 0 (3) \]
Si ahora tomamos resto a cada sumando
<aside 🔑 Acá está la diferencia con el caso anterior (y con los que sigan).
Un número es divisible por 5 si: la última cifra es 0 o 5.
De nuevo usamos los visto en los casos anteriores.
Sabemos que un número \(n\) es divisible por \(5\) si \(\exists k \in \mathbb{Z} / n = 5k\) y por congruencias sabemos que
\[ n = 5k \iff n \equiv 0(5) \]
Por lo tanto vamos a querer probar que cualquier números es divisible por dos si es congruente a 0 módulo 5.
Ahora usamos lo que vimos del sistema de numeración decimal, sabemos que \(n\) se puede escribir como
\[ n = c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1} \cdot 10^{1} + c_{r} \cdot 10^{0} \]
Entonces juntando ambas cosas
\[ n \equiv 0(5) \iff c_1 \cdot 10^{r} + c_2 \cdot 10^{r-1} + ... + c_{r-1} \cdot 10^{1} + c_{r} \cdot 10^{0} \equiv 0 (5) \]
Si ahora tomamos resto a cada sumando
\[ n \equiv 0(5) \iff c_1 \cdot 0^{r} + c_2 \cdot 0^{r-1} + ... + c_{r-1} \cdot 0^{1} + c_{r} \cdot 1 \equiv 0 (5) \]
En este caso, el resto de dividir a 10 por 5 es igual a 0.
Por lo tanto nos queda algo muy similar al criterio del 2
\[ n \equiv 0(5) \iff c_{r} \equiv 0 (5) \]
Y esto quiere decir, como queríamos probar, que un número es divisible por 5 (o congruente a 0 módulo 5) si la última cifra es divisible por 5, o lo que es lo mismo, que termina en 0 o 5.
El último criterio que no vamos a ver acá pero también es muy interesante es el del 11.
Conclusiones
Crear atajos nos ayuda a resolver problemas de forma eficiente. Gracias a los criterios de divisibilidad, sabemos que el número 19284758403294 es divisible por 2 ya que termina en 4, sin tener que andar haciendo las cuentas.
Muchas veces nos quedamos con la fórmula que nos permite resolver problemas sin saber por qué vale lo que sabemos que es cierto. Los criterios de divisibilidad son ciertos y valen; ya vimos por qué 🤓