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La Suma de Gauss

· 4 min read
Yago Pajariño
Yago Pajariño
CS Student, Developer, and Tech Enthusiast

Debe ser la anecdota más contada por profesores de matemáticas del mundo. La del joven niño prodigio que resuelve un problema mega complicado en muy poco tiempo.

Capaz no la escuchaste y soy el primero en contartela.

Introducción​

A mediados de 1800, Alemania, un profesor de matemática da a sus alumnos de primaria un desafiante problema:

Sumar todos los números naturales del 1 al 100.

Al poco tiempo, mucho antes de los esperado por el profesor, un joven Carl Friederich Gauss entrega su respuesta al profesor, 5050.

No se sabe mucho de la veracidad de esta historia, ni muchos más detalles, pero alcanza para sorprender a todos los que la escuchan por primera vez. (Y posta me sorprendió cuando la esuche en una de mis primeras clases de álgebra I).

La pregunta natural que surge es como puede un chico sumar tantos números tan rápido. Veamos como sería la cosa, o como lo hubiera encarado yo:

  • 1+2 = 3
  • 3+3 = 6
  • 6+4 = 10
  • 10+5 = 15
  • 15+6 = 21
  • 21+7 = 28

Y casi que a partir de allí se empieza a complicar la cosa.

Sin embargo, el jóven Carl entendió que:

  • 1+100 = 101
  • 2+99 = 101
  • 3+98 = 101
  • …
  • 48+53 = 101
  • 49+52 = 101
  • 50+51 = 101

Y a partir de acá se repite lo mismo con los terminos dados vuelta.

Entonces hay 51 términos que suman 101, luego

51⋅101=5050 51 \cdot 101 = 5050

Que es efectivamente la suma de todos los números naturales entre 1 y 100.

Demostración​

Lo siguiente que conviene preguntarse es si esta idea se puede extender al resto de los naturales y como se puede probar que se cumple para la suma entre 1 y 47, o entre 1 y 86.

Formalmente, el problema de sumar los primeros nn números naturales SS se puede expresar como:

S=∑i=1niS = \sum_{i=1}^{n}i

Miremos lo siguiente, sea nn un número natural,

S=1+          2         +...+(n−1)+nS=n+(n−1)+...+          2         +1\begin{align*} S &= 1 +\; \; \; \;\;2\;\;\;\;\:+...+ (n-1) + n \\ S &= n + (n-1) +...+ \; \; \; \;\;2\;\;\;\;\: + 1 \\ \end{align*}

Sumando nos queda,

2S=(n+1)+(n+1)+...+(n+1)2S=n(n+1)S=n(n+1)22S = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) \\ 2S = n(n+1) \\ S = \frac{n(n+1)}{2}

Este es el término general de la sumatoria de los nn primeros naturales.

Inducción​

Vamos a probar que vale que para todo nn natural, la suma de los primeros nn naturales es igual a n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}

Para eso vamos a usar el principio de inducción. Esencialmente lo que el principio propone es que si probamos (siempre usando los números naturales) que un predicado vale:

  1. Para un primer caso (llamado caso base) y,
  2. Si vale para un k-ésimo elemento cualquiera implica que vale para el siguiente.

Entonces el predicado vale para cualquier natural.

Definimos entonces el predicado

⁍⁍

Como queremos probar que el predicado vale para cualquier natural, proponemos n=1n=1 como caso base.

Caso base n = 1​

Queremos probar que vale el predicado, como es una igualdad vale con probar que ambos lados de la igualdad valen lo mismo.

Luego donde dice nn reemplazamos con 11

p(1):∑i=11i=1(1+1)2p(1):1=22p(1):1=1p(1): \sum_{i=1}^{1} i = \frac{1(1+1)}{2} \\ p(1): 1 = \frac{2}{2} \\ p(1): 1 = 1 \\

Por lo tanto p(1)p(1) es verdadero.

Paso inductivo​

Ahora queremos probar que dado un kk natural, vale que p(k)  ⟹  p(k+1)p(k) \implies p(k+1)

Para probar una implicación logica alcanza con tomar como verdadero el antecedente, en este caso p(k)p(k) y probar que vale el consecuente p(k+1)p(k+1)

Entonces, si tomamos que p(k)p(k) es verdadero, sabemos que vale

p(k):∑i=1ki=k(k+1)2p(k): \sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}

Y lo que queremos probar es que sabiendo esto, vale

p(k+1):∑i=1k+1i=(k+1)(k+1+1)2p(k+1):∑i=1k+1i=(k+1)(k+2)2=k2+3k+22p(k+1): \sum_{i=1}^{k+1} i = \frac{(k+1)(k+1+1)}{2} \\ p(k+1): \sum_{i=1}^{k+1} i = \frac{(k+1)(k+2)}{2} = \frac{k^2 + 3k + 2}{2}

Pero, por definición de la sumatoria

∑i=1k+1i=(∑i=1ki)+k+1\sum_{i=1}^{k+1} i = (\sum_{i=1}^{k} i) + k+1

Pero ahora puedo reemplazar la sumatoria hasta kk por lo que se que vale.

∑i=1k+1i=(∑i=1ki)+k+1=k(k+1)2+k+1=k2+k2+k+1=k2+k+2k+22=k2+3k+22\begin{align*} \sum_{i=1}^{k+1} i &= (\sum_{i=1}^{k} i) + k+1 \\ &=\frac{k(k+1)}{2} + k+1 \\ &=\frac{k^2+k}{2} + k+1 \\ &=\frac{k^2+k+ 2k+2}{2} \\ &=\frac{k^2+3k+2}{2} \\ \end{align*}

Como se quería probar. Entonces así queda probado el paso inductivo y habiendo probado antes el caso base queda probado que p(n)p(n) vale para todo número natural.

En conclusión, para cualquier nn natural la suma de los primeros nn números naturales es igual a n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}.

Recursos​